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(2014•镇江)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点,过点(0,4)作x轴的平行线,交抛物线于点P、Q(点P在Q的左侧),PQ=4.(1)求抛物线的函数关系式,并写出

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(2014•镇江)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点,过点(0,4)作x轴的平行线,交抛物线于点P、Q(点P在Q的左侧),PQ=4.
(1)求抛物线的函数关系式,并写出点P的坐标;
(2)小丽发现:将抛物线y=-x2+2nx-n2+2n绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O,你认为正确吗?请说明理由;
(3)如图2,已知点A(1,0),以PA为边作矩形PABC(点P、A、B、C按顺时针的方向排列),
PA
AB
=
1
t

①写出C点的坐标:C(______,______)(坐标用含有t的代数式表示);
②若点C在题(2)中旋转后的新抛物线上,求t的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=-x2+2nx-n2+2n过点P,P点的纵坐标为4,
∴4=-x2+2nx-n2+2n
解得:x1=n+
2n−4
,x2=n-
2n−4

∵PQ=x1-x2=4,
∴2
2n−4
=4,
解得:n=4,
∴抛物线的函数关系式为:y=-x2+8x-8,
∴4=-x2+8x-8,
解得:x=2或x=6,
∴P(2,4).

(2)正确;
∵P(2,4),PQ=4,
∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′(-2,4),
∴P与Q′正好关于y轴对称,
∴所得新抛物线的对称轴是y轴,
∵抛物线y=-x2+8x-8=-(x-4)2+8,
∴抛物线的顶点M(4,8),
∴顶点M到直线PQ的距离为4,
∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4,
∴所得新抛物线顶点应为坐标原点.


(3)①如图2,过P作x轴的垂线,交x轴于M,过C作CN⊥MN于N,
PA
AB
=
1
t

PA
PC
=
1
t

∵△APM∽△PCN,
PN
AM
=
CN
PM
=
PC
PA
=
t
1

∵AM=2-1=1,PM=4,
∴PN=t,CN=4t,
∴MN=4+t,
∴C(-4t+2,4+t),
②由(1)可知,旋转后的新抛物线是y=ax2
∵新抛物线是y=ax2过P(2,4),
∴4=4a,
∴a=1,
∴旋转后的新抛物线是y=x2
∵C(-4t+2,4+t)在抛物线y=x2上,
∴4+t=(-4t+2)2
解得:t=0(舍去)或t=
17
16

∴t=
17
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