如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且（n-3）2+3m−12=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速

Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且（n-3）²+√(3m−12)=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求A、C两点的坐标；  
（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；
（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵(n−3)2+√(3m−12)＝0，
∴n-3=0，3m-12=0，
n=3，m=4，
∴A的坐标是（0，4），C的坐标是（3，0）；

（2）∵B（-5，0），
∴OB=5，
①当0≤t＜(5)/(2)时，P在线段OB上，如图1，
∵OP=5-2t，OA=4，
∴△POA的面积S=(1)/(2)×OP×AP=(1)/(2)×（5-2t）×4=10-4t；
②当t=(5)/(2)时，P和O重合，此时△APO不存在，即S=0；
③当t＞(5)/(2)时，P在射线OC上，如备用图2，
∵OP=2t-5，OA=4，
∴△POA的面积S=(1)/(2)×OP×AP=(1)/(2)×（2t-5）×4=4t-10；

（3）P在线段BO上运动使△PAC是等腰三角形，分三种情况，
①∠PAC为顶角时，即AP=AC，
∴AO为△PAC中垂线，
∴PO=CO=3，
∴P点坐标为（-3，0），
∴t=(BP)/(2)=1s；
②∠ACP为顶角时，AC=CP
根据勾股定理可得，AC=√(OC2+OA2)=5，
∴PO=2，
∴P点坐标为（-2，0），
∴t=(BP)/(2)=1.5s；
③∠APC为顶角时，AP=PC，设PA=a，
根据勾股定理，在Rt△PAO中，x²=（x-3）²+4²
解得x=(25)/(6)，
∴PO=(25)/(6)-3=(7)/(6)，
∴P点坐标为（-(7)/(6)，0），
∴t=(BP)/(2)=(23)/(12)s；
综上，存在一点P（-3，0）、（-2，0）、（−(7)/(6)，0）相对应的时间分别是t=1、1.5、(23)/(12)，使△PAC是等腰三角形．