已知：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴和y轴分别交于A、B两点，与直线OC交于点C，点C的纵坐标为1，OA=OB，△OAC的面积为32．（1）求C点的横坐标；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，点P从点O

Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴和y轴分别交于A、B两点，与直线OC交于点C，点C的纵坐标为1，OA=OB，△OAC的面积为(3)/(2)．
（1）求C点的横坐标；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，点P从点O出发沿线段OD以每秒1个单位的速度向终点D动，过点P作x轴的垂线分别与直线AB、OC交与E、F两点，设点P运动的时间为t（秒），线段EF的长为d，△ECF的面积为(3)/(4)（t-2）²，用含t的代数式表示d，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△EFQ为等腰直角三角形？若存在，求满足条件t的值，并直接写出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵C的纵坐标为1，S_△OAC=(1)/(2)OA•C_纵坐标=(3)/(2)，
∴OA=3，
∴OB=OA=3，
∴A（3，0），B（0，3），
∴直线AB的斜率为-1，解析式为y=-x+3，
把y=1代入得：x=2，
则C（2，1）；
（2）由（1）得：直线AB解析式为y=-x+3，
∵C（2，1），
∴直线OC的斜率为(1)/(2)，即解析式为y=(1)/(2)x，
∵P（t，0），∴E、F点的横坐标为t，
∴E点纵坐标为-t+3，F点纵坐标为(1)/(2)t，
则d=-t+3-(1)/(2)t=-(3)/(2)t+3（0≤t≤2）；
（3）在y轴上存在点Q使得△EFQ为等腰直角三角形，
①当Q为等腰直角三角形直角顶点时，EQ=FQ，EF为斜边，
∵直线AB与坐标轴的夹角为45°，
∴EQ=BE=√(2)t，
∴Q（0，3-2t），F（t，3-2t），
∵F在直线CD上，
∴3-3t=(1)/(2)t，
解得：t=(6)/(7)，
此时Q（0，(9)/(7)）；
②当E为等腰直角三角形直角顶点时，EQ=EF=t，
可得t=-(3)/(2)t+3，
解得：t=(6)/(5)，
此时Q（0，(9)/(5)）；
③当F为等腰直角三角形的直角顶点时，则FQ=EF=t，
可得t=-(3)/(2)t+3，
解得：t=(6)/(5)，
此时Q（0，(3)/(5)）．