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如图,已知矩形OABC,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,其中A(2,0),C(0,3),点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动,连接BP,作BE⊥PB交x轴于点E,连接PE交AB于点F,设
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如图,已知矩形OABC,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,其中A(2,0),C(0,3),点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动,连接BP,作BE⊥PB交x轴于点E,连接PE交AB于点F,设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,求点E的坐标;
(2)若AB平分∠EBP时,求t的值;
(3)在运动的过程中,是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)当t=2时,求点E的坐标;
(2)若AB平分∠EBP时,求t的值;
(3)在运动的过程中,是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)当t=2时,PC=2,
∵BC=2,
∴PC=BC,
∴∠PBC=45°,
∴∠BAE=90°,
∴∠AEB=45°,
∴AB=AE=3,
,
∴点E的坐标是(5,0);
(2)当AB平分∠EBP时,
∠PBF=45°,
则∠CBP=∠CPB=45°,
,
∴t=2;
(3)存在,
∵∠ABE+∠ABP=90°,
∠PBC+∠ABP=90°,
∴∠ABE=∠PBC,
∵∠BAE=∠BCP=90°,
∴△BCP∽△BAE,
∴
=
,
∴
=
,
∴AE=
t,
∵若△POE∽△PCB,
∴
=
,
∴
=
,
∴t1=
,
t2=
(舍去),
∴P的坐标为(0,
).
∵BC=2,
∴PC=BC,
∴∠PBC=45°,
∴∠BAE=90°,
∴∠AEB=45°,
∴AB=AE=3,
|
∴点E的坐标是(5,0);
(2)当AB平分∠EBP时,
∠PBF=45°,
则∠CBP=∠CPB=45°,
|
∴t=2;
(3)存在,
∵∠ABE+∠ABP=90°,
∠PBC+∠ABP=90°,
∴∠ABE=∠PBC,
∵∠BAE=∠BCP=90°,
∴△BCP∽△BAE,
∴
BC |
AB |
PC |
AE |
∴
t |
AE |
2 |
3 |
∴AE=
3 |
2 |
∵若△POE∽△PCB,
∴
BC |
OE |
PC |
PO |
∴
2 | ||
2+
|
t |
3−t |
∴t1=
−4+2
| ||
3 |
t2=
−4−2
| ||
3 |
∴P的坐标为(0,
13−2
| ||
3 |
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