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如图,已知矩形OABC,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,其中A(2,0),C(0,3),点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动,连接BP,作BE⊥PB交x轴于点E,连接PE交AB于点F,设

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如图,已知矩形OABC,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,其中A(2,0),C(0,3),点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动,连接BP,作BE⊥PB交x轴于点E,连接PE交AB于点F,设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,求点E的坐标;
(2)若AB平分∠EBP时,求t的值;
(3)在运动的过程中,是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)当t=2时,PC=2,
∵BC=2,
∴PC=BC,
∴∠PBC=45°,
∴∠BAE=90°,
∴∠AEB=45°,
∴AB=AE=3,
∴OE=5

∴点E的坐标是(5,0);

(2)当AB平分∠EBP时,
∠PBF=45°,
则∠CBP=∠CPB=45°,
∴CP=CB=2

∴t=2;

(3)存在,
∵∠ABE+∠ABP=90°,
∠PBC+∠ABP=90°,
∴∠ABE=∠PBC,
∵∠BAE=∠BCP=90°,
∴△BCP∽△BAE,
BC
AB
PC
AE

t
AE
2
3

AE=
3
2
t,
∵若△POE∽△PCB,
BC
OE
PC
PO

2
2+
3
2
t
=
t
3−t

∴t1=
−4+2
13
3

t2=
−4−2
13
3
(舍去),
∴P的坐标为(0,
13−2
13
3
).
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