如图所示，在平面直角坐标系中，过坐标原点O的圆M分别交x轴、y轴于点A（6，0）、B（0，-8）．（1）求直线AB的解析式；（2）若有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经过M点，顶点C在圆M上，开

Question

如图所示，在平面直角坐标系中，过坐标原点O的圆M分别交x轴、y轴于点A（6，0）、B（0，-8）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经过M点，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与x轴交于D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）两点，且x₁＜x₂，在抛物线上是否存在点P，使△PDE的面积是△ABC面积的(1)/(5)？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b
根据题意，得：

6k+b＝0

b＝−8

解之，得k=(4)/(3)，b=-8
∴直线AB的解析式为y=(4)/(3)x-8

（2）设抛物线对称轴交x轴于F，
∵∠AOB=90°，
∴AB为圆M的直径，即AM=BM，
∴抛物线的对称轴经过点M，且与y轴平行，OA=6，
∴对称轴方程为x=3，
作对称轴交圆M于C，
∴MF是△AOB的中位线，
∴MF=(1)/(2)BO=4，
∴CF=CM-MF=1，
∵点C（3，1），由题意可知C（3，1）就是所求抛物线的顶点．
方法一：设抛物线解析式为y=a（x-3）²+1，
∵抛物线过点B（0，-8），
∴-8=a（0-3）²+1，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-3）²+1或y=-x²+6x-8；

方法二：∵抛物线过点B（0，-8），
∴可设抛物线的解析式为y=ax²+bx-8，
由题意可得：

−(b)/(2a)＝3

(4a？(−8)−b2)/(4a)＝1

，
∴a=-1，b=6，
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x-8；

（3）令-x²+6x-8=0，得x₁=2，x₂=4，
∴D（2，0），E（4，0），
设P（x，y），
则S_△PDE=(1)/(2)•DE•|y|=(1)/(2)×2|y|=|y|，
S_△ABC=S_△BCM+S_△ACM=(1)/(2)•CM•（3+3）=(1)/(2)×5×6=15，
若存在这样的点P，则有|y|=(1)/(5)×15=3，
从而y=±3，
当y=3时，-x²+6x-8=3，
整理得：x²-6x+11=0，
∵△=（-6）²-4×11＜0，
∴此方程无实数根；
当y=-3时，-x²+6x-8=-3，
整理得：x²-6x+5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴这样的P点存在，且有两个这样的点：P₁（1，-3），P₂（5，-3）．