如图平面上有A（1，0），B（-1，0）两点，已知圆的方程为（x-3）2+（y-4）2=22．（1）在圆上求一点P1使△ABP1面积最大并求出此面积；（2）求使|AP|2+|BP|2取得最小值时的圆上的点P的坐标．

题目详情

如图平面上有A（1，0），B（-1，0）两点，已知圆的方程为（x-3）²+（y-4）²=2²．
（1）在圆上求一点P₁使△ABP₁面积最大并求出此面积；
（2）求使|AP|²+|BP|²取得最小值时的圆上的点P的坐标．

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答案和解析

（1）∵三角形的面积只与底长和高有关系，又|AB|=2为定值，
∴在圆上只要找到最高点即可
又∵圆心坐标为（3，4），半径为2
∴P₁横坐标为3，纵坐标为4+2=6 …
∴P₁（3，6），S△ABP1＝

×2×6＝6…
（2）设P（x，y），则由两点之间的距离公式知
|AP|²+|BP|²=（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2
要|AP|²+|BP|²取得最小值只要使|OP|²最小即可…
又P为圆上的点，所以（|OP|）_min=|OC|-r（r为半径）
（|OP|）_min=|OC|-r=

32+42

−2＝3…
∴（|AP|²+|BP|²）_min=2×3²+2=20此时直线OC：y＝

x…
由

y＝

(x−3)2+(y−4)2＝4

解得

x＝

y＝

或

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