如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴

Question

如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）若AB∥x轴，求t的值；
（2）当t=3时，坐标平面内有一点M，使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标；
（3）设点A关于x轴的对称点为A'，连接A'B，
在点P运动的过程中，∠OA'B的度数是否会发生变化，
若不变，请求出∠OA'B的度数，若改变，请说明理由．

Answer 1

（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图1所示．
∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，
∴四边形ABCO为长方形，
∴AO=BC=4．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP=4．
t=4÷1=4（秒），
故t的值为4．
（2）点M的坐标为（4，7）或（6，-4）或（10，-1）或（0，4）；
（3）∠OA'B=45°，不发生变化；理由如下：
∵△APB为等腰直角三角形，
∴∠APO+∠BPC=180°-90°=90°．
又∵∠PAO+∠APO=90°，
∴∠PAO=∠BPC．
在△PAO和△BPC中，

∠PAO=∠BPC

∠AOP=∠PCB=90°

AP=BP

，
∴△PAO≌△BPC（AAS），
∴AO=PC，BC=PO．
∵点A（0，4），点P（t，0）
∴PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+t
∴点B（4+t，t）；
∴点B在直线y=x-4上
又∵点A关于x轴的对称点为A'（0，-4）也在直线y=x-4上，
∴∠OA'B=45°．