已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y＝x＋1与椭圆交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|＝,求椭圆方程由OP⊥OQ,所以x1x2＋y1y2＝0,即2x1x2＋（x1＋x2）＋1＝0这个表示看不懂特别是2x1x2＋（x1＋x2）＋

Question

已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y＝x＋1与椭圆交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|＝ ,求椭圆方程
由OP⊥OQ,所以x1x2＋y1y2＝0,即2x1x2＋（x1＋x2）＋1＝0
这个表示看不懂特别是2x1x2＋（x1＋x2）＋1＝0

Answer 1

(1)当焦点在x轴上时,设椭圆方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0)
将直线方程带入椭圆方程有 x^2/a^2 + (x+1)^2/b^2=1
两边同乘(ab)^2有 (bx)^2 + (ax+a)^2 = (ab)^2
展开并整理有 (a^2+b^2)x^2 + 2(a^2)x + a^2 = (ab)^2
移向得 (a^2+b^2)x^2 + 2(a^2)x + a^2 - (ab)^2 = 0 ①
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由OP⊥OQ可得 向量OP · 向量OQ = 0
代入得 x1x2+y1y2=x1x2+(x1+1)(x2+1)=2(x1x2)+(x1+x2)+1=0 ②
由①中韦达定理得 x1x2=-[(ab)^2/(a^2+b^2)]
x1+x2=-2[a^2/(a^2+b^2)]
代入②得 -[2(ab)^2/(a^2+b^2)]-2[a^2/(a^2+b^2)]+1=0
整理得 a^2-2(ab)^2+b^2=0
做到这发现少了a与b的关系,应该是题目少条件了,如果知道焦距或者焦点的坐标就知道c,由a^2=b^2+c^2 可解得具体的a^2和b^2的值.
(2)当焦点在y轴上时,类比(1)中过程可解得另一个解,不过两种情况都需要检验.