已知函数f(x)＝14x+2(x∈R)，点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数f（x）图象上的两个点，且线段P1P2的中点P的横坐标为12．（Ⅰ）求证：点P的纵坐标是定值；（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an＝f(nm)

Question

已知函数f(x)＝(1)/(4x+2)(x∈R)，点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函数f（x）图象上的两个点，且线段P₁P₂的中点P的横坐标为(1)/(2)．
（Ⅰ）求证：点P的纵坐标是定值；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为an＝f((n)/(m))(m∈N，n＝1，2，…，m)，求数列{a_n}的前m项的和S_m．

Answer 1

（Ⅰ）由题可知：x₁+x₂=2×(1)/(2)=1，所以，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=(1)/(4x1+2)+(1)/(4x2+2)=(4x1+4x2+4)/((4x1+2)(4x2+2))=

 (4x1+4x2+4)/(4x1+x2+2(4x1+4x2)+4)

=

(4x1+4x2+4)/(2(4x1+4x2+4))

=(1)/(2)
点P的纵坐标y_P=(y1+y2)/(2)=(1)/(4)是定值，问题得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：对任意自然数m，n，f（(n)/(m)）+f（(m−n)/(m)）=(1)/(2)恒成立．
由于S_m=f（(1)/(m)）+f（(2)/(m)）+…+f（(m−2)/(m)）+f（<