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已知函数f(x)=14x+2(x∈R),点P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数f(x)图象上的两个点,且线段P1P2的中点P的横坐标为12.(Ⅰ)求证:点P的纵坐标是定值;(Ⅱ)若数列{an}的通项公式为an=f(nm)
题目详情
已知函数f(x)=
(x∈R),点P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数f(x)图象上的两个点,且线段P1P2的中点P的横坐标为
.
(Ⅰ)求证:点P的纵坐标是定值;
(Ⅱ)若数列{an}的通项公式为an=f(
)(m∈N,n=1,2,…,m),求数列{an}的前m项的和Sm.
1 |
4x+2 |
1 |
2 |
(Ⅰ)求证:点P的纵坐标是定值;
(Ⅱ)若数列{an}的通项公式为an=f(
n |
m |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由题可知:x1+x2=2×
=1,所以,y1+y2=f(x1)+f(x2)=
+
=
=
=
=
点P的纵坐标yP=
=
是定值,问题得证.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:对任意自然数m,n,f(
)+f(
)=
恒成立.
由于Sm=f(
)+f(
)+…+f(
)+f(<
1 |
2 |
1 |
4x1+2 |
1 |
4x2+2 |
4x1+4x2+4 |
(4x1+2)(4x2+2) |
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1 |
2 |
点P的纵坐标yP=
y1+y2 |
2 |
1 |
4 |
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:对任意自然数m,n,f(
n |
m |
m−n |
m |
1 |
2 |
由于Sm=f(
1 |
m |
2 |
m |
m−2 |
m |
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