在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若过B点的直线与抛物线交于P，与y轴交于E，若BE=PE，求BP的长

Question

在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过B点的直线与抛物线交于P，与y轴交于E，若BE=PE，求BP的长；
（3）如图2是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求P点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
则

a-b+c=0

16a+4b+c=0

c=4

，
解得：

a=-1

b=3

c=4

．
则抛物线的解析式是：y=-x²+3x+4；　　

（2）如图1，过点P作PF⊥y轴于点F，
∵在△PFE与△BOE中，

∠PFE=∠BOE=90°

∠PEF=∠BEO

PE=BE

，
∴△PFE≌△BOE（AAS），
∴PF=OB．
∵B（-1，0），
∴点P的横坐标是1，
把x=1代入y=-x²+3x+4，得
y=-1²+3×1+4=6，
故P（1，6），
∴BP=√((-1-1)2+(0-6)2)=2√(10)；

（3）存在．　
第一种情况，如图2，当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁．过点P₁作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
设P（m，-m²+3m+4），则m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴-m²+3m+4=6，
即P（2，6）．　　　　　　
第二种情况，如图3，当点A为直角顶点时，过A作AP₂，AC交抛物线于点P₂，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P₂N∥x轴，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF．
∴P₂N=NF，
设P₂（n，-n²+3n+4），则n=（-n²+3n+4）+4
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
则P₂的坐标是（-2，-6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）．