已知抛物线y=4\3x²+bx+c经过A(3,0)、B（0,4）(1)求此抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为c,求点c关于直线AB的对称点C'的坐标；（3）若点D是第二象限内一点,以点D为圆心分别

Question

已知抛物线y=4\3x²+bx+c 经过A(3,0)、B（0,4）
(1)求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为c,求点c关于直线AB的对称点C'的坐标；
（3）若点D是第二象限内一点,以点D为圆心分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H,问在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得|PH-PA|的值最大?若存在,求出最大值；若不存在,请说明理由

Answer 1

（1）将A(3,0)、B（0,4）两点坐标分别代入y=4\3x²+bx+c
得0=(4/3)*3^2+3b+c,4=c,解得b=-16/3
所以此抛物线的解析式为y=(4/3)x^2-(16/3)x+4
（2）设直线AB的解析式为mx+ny+l=0
将A(3,0)、B（0,4）两点坐标分别代入
得3m+l=0,4n+l=0,解得m=-l/3,n=-l/4
则有(-l/3)x+(-l/4)y+l=0,即直线AB的解析式为4x+3y-12=0,或y=-4/3x+4
（3）设第二象限内点D坐标为（p,q）,p0
由以点D为圆心分别与x轴、y轴、直线AB相切,可知点D与x轴、y轴、直线AB距离相等,
则有p=-q,点D坐标为（-q,q） ,且点D与直线AB距离为DH=q
由直线AB的解析式为4x+3y-12=0,点D（-q,q）距直线AB的距离为(4(-q)+3q-12)/√(4^2+3^2)
得(4(-q)+3q-12)/√(4^2+3^2)=q,解得q=3或q=-2(舍去)
则点D坐标为（-3,3）
设直线DH的解析式为y=kx+d
由直线AB的解析式为y=-4/3x+4,DH垂直AB,得k*(-4/3)=-1,k=3/4
即直线DH的解析式为y=3/4+d
将点D（-3,3）坐标代入,得3=(3/4)*(-3)+d,d=21/4
所以直线DH的解析式为y=3/4x+21/4
设点H的坐标为（u,v）
则有v=3/4u+21/4=-4/3u+4,解得u=-3/5,v=24/5,即点H的坐标为（-3/5,24/5）
抛物线y=(4/3)x^2-(16/3)x+4的对称轴为 x=(16/3)/(2*4/3)=2
设点P坐标为（2,s）
则PH =√((2+3/5)^2+(s-24/5)^2)=√((s-24/5)^2+169/25),PA=√((2-3)^2+(s-0)^2)=√(s^2+1)
当s=0时,PA有最小值1,此时PH=√745/5,|PH-PA|=√745/5-1；
当s=3时,PH=PA=√10,即|PH-PA|有最小值0；
当s=24/5时,PH有最小值13/5,此时PA=√581/5,|PH-PA|=(√581-13)/5；
当0PH,则此时|PH-PA|为增函数（(√581-13)/5→24/5）；
综上所述,在抛物线的对称轴上不存在|PH-PA|的值最大的点P.