关于抛物线若A,B是抛物线y²=4x上的不同两两点,弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点p,则称弦AB是点p的一天“相关弦”（1）求点P（4,0）的“相关弦”的中点的横坐标（2）求点p(

Question

关于抛物线
若A,B是抛物线y²=4x上的不同两两点,弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点p,则称弦AB是点p的一天“相关弦”
（1）求点P（4,0）的“相关弦”的中点的横坐标
（2）求点p(4,0）的所有“相关弦”的弦长的最大值

Answer 1

答：
1）
设抛物线y²=4x上的点A（a²,2a）和点B（b²,2b）
弦AB不平行于y轴,则a²≠b²
AB中点M坐标为（(a²+b²)/2,a+b）
AB与PM相互垂直,则斜率乘积为-1：
kab*kpm=-1
所以：
[(2a-2b)/(a²-b²)]* { (a+b-0) / [(a²+b²)/2-4] }=-1
解得：(a²+b²)/2=2
所以：AB中点的横坐标为2
2）
因为：a²+b²=4
所以弦长AB满足：
L²=(a²-b²)²+(2a-2b)²
=(a-b)²(a+b)²-4(a-b)²
=(a²-2ab+b²)(a²+2ab+b²-4)
=(4-2ab)(4+2ab-4)
=4(2-ab)ab