已知圆C：(x-3)²+(y-4)²=1,点A（-1,0）,B（1,0）,点P是圆上的动点,求d=|PA|²+|PB|²的最大,最小值及对应的P点坐标

Question

已知圆C：(x-3)²+(y-4)²=1,点A（-1,0）,B（1,0）,点P是圆上的动点,求d=|PA|²+|PB|²的最大,最小值及对应的P点坐标

Answer 1

答：此题用圆参数方程解极值较简洁.设x-3=cosθ ,y-4=sinθ ( 0 °《θ -1《sin(β+θ)《1 【正弦函数值域的有界性】
∴d(最大值）max=54+20=74 【当 sin(β+θ)=1时】
d（最小值）min=54-20=34 【当sin(β+θ)=-1时】
当d最大时求P点坐标.设P点坐标为（x,y) 则必满足： (x-3)²+(y-4)²=1 （1）
又 （x+1)²+y²+（x-1)²+y²=74 （2）
由（2） 2 x²+2+2y²=74 x²+y²=36 （2）
由（1） x²+y²-6x-8y+25=1 代入（2） 36-6x-8y+24=0
6x-8y=60 3x-4y=30 3x=4y+30 x=4/3y+10 代入（2）9x²+9y²=324
（4y+30)²+9y²=324
16y²+240y+900+9y²-324=0
25y²+240y+576=0
(5y+24)²=0
∴ y=-24/5 x=4/3*(-24/5)+10=-6.4+10=3.6 所以 P点坐标为（3.6,-4.8）
当d为最小值34时 (x-3)²+(y-4)²=1 （1）
又 （x+1)²+y²+（x-1)²+y²=34 （2）
由（2） 2 x²+2+2y²=34 x²+y²=16 （2）
由（1） x²+y²-6x-8y+25=1 代入（2） 16-6x-8y+24=0 6x-8y=40
3x-4y=20 3x=20+4y 代入（2）9x²+9y²=144
（4y+20)²+9y²=144
16y²+160y+400+9y²-144=0
25y²+160y+256=0
(5y+16)²=0
∴ y=-16/5=-3.2 3x=20+4(-3.2)=20-12.8=7.2 x=2.4
所以此时P点坐标为（2.4,-3.2）