定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y^2=x上移动,记线段AB的中点为M(1)求点M到y轴的最短距离（2）求点M到y轴的最短距离时点M的坐标我依照这个已经解出了第一问,第二问也求出了横坐标,问若

Question

定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y^2=x上移动,记线段AB的中点为M
(1)求点M到y轴的最短距离
（2）求点M到y轴的最短距离时点M的坐标我依照这个已经解出了第一问,第二问也求出了横坐标,问若按照这上的方法,纵坐标怎么求?求数学达人帮我···

Answer 1

(1）
抛物线y^2=x焦点F(1/4,0),准线l:x=-1/4
设A,B,M在l上的投影分别为A',B',M'
∵M是AB中点,∴AA'+BB'=2MM'
又根据抛物线定义：AA'=AF,BB'=BF
∴AF+BF=2MM'
又AF+BF≥AB=3(A,B,F三点共线取等号）
∴2MM'≥3,MM'≥3/2
即点M到准线l的最短距离为3/2
到y轴的最短距离3/2-1/4=5/4
(2)
A,B,F三点共线取等号,此时M点的横坐标为5/4
直线AB过焦点,方程为y=k(x-1/4)
∴k²(x-1/4)²=x
即k²x²-(1/2k²+1)x+1/16k²=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
x1+x2=(1/2k²+1)/k²=5/2,==>k²=2,
∴k=±√2,
AB:y=±√2(x-1/4)
∴y1+y2=±√2(x1+x2-1/2)=±2√2
∴(y1+y2)/2=±√2
∴M(5/4,±√2)