（2014•福建模拟）已知复数z1=cosx+i，z2=1-isinx，x∈R．（1）求|z1-z2|的最小值；（2）设z=z1•z2，记f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（

Question

（2014•福建模拟）已知复数z₁=cosx+i，z₂=1-isinx，x∈R．
（1）求|z₁-z₂|的最小值；
（2）设z=z₁•z₂，记f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移(π)/(2)个单位长度，得到函数g（x）的图象．试求函数g（x）的解析式．

Answer 1

解（1）∵复数z₁=cosx+i，z₂=1-isinx，x∈R，
∴|z₁-z₂|=√((cosx−1)2+(1+sinx)2)=√(3+2√(2)sin(x−(π)/(4)))．
∴当sin（x-(π)/(4)）=-1，即x=2kπ−(π)/(4)，k∈Z时，
|z₁-z₂|_min=√(3−2√(2))＝√(2)−1．
（2）∵z=z₁•z₂，
∴z=z₁•z₂=sinx+cosx+（1-sinxcosx）i．
f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．
∴f（x）=1-sinxcosx=1-(1)/(2)sin2x，x∈R．．
将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后，
得到的图象所对应的函数是y₁=1-(1)/(2)sinx．
把函数y=1-(1)/(2)sinx的图象向右平移(π)/(2)个单位长度，得到的图象对应的函数是y=1-(1)/(2)sin（x-