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计算第二型曲面积分:∬Sy(x-z)dydz+x(z-y)dxdy,其中S为锥面z=x2+y2被平面z=1,z=2所截得部分的外侧.
题目详情
计算第二型曲面积分:
y(x-z)dydz+x(z-y)dxdy,其中S为锥面z=
被平面z=1,z=2所截得部分的外侧.
∬ |
S |
x2+y2 |
▼优质解答
答案和解析
补充平面∑1:z=1(x2+y2≤1)取下侧,补充平面∑2:z=2(x2+y2≤4)取上侧,
设S+∑1+∑2所围成的立体区域为Ω,∑1在xoy面的投影为D1,∑2在xoy面的投影为D2,则由高斯公式和第二类曲面积分的计算,得
y(x−z)dydz+x(z−y)dxdy
=
y(x−z)dydz+x(z−y)dxdy-
y(x−z)dydz+x(z−y)dxdy-
y(x−z)dydz+x(z−y)dxdy
=
(x+y)dxdydz+
x(1−y)dxdy−
x(2−y)dxdy
=
xdxdydz+
ydxdydz+
xdxdy−
xydxdy-
2xdxdy+
xydxdy
对于两个三重积分,由于被积函数x是关于x的奇函数,而积分立体区域Ω是关于yoz面对称的;被积函数y是关于y的奇函数,而积分立体区域Ω是关于xoz面对称的
因而
xdxdydz=
ydxdydz=0,
对于以D1为积分区域的二重积分,由于被积函数x和xy是关于x的奇函数,而积分区域D1是关于y轴对称的
因而
xdxdy=
xydxdy=0
同理,
2xdxdy=
xydxdy=0
∴原式=0
设S+∑1+∑2所围成的立体区域为Ω,∑1在xoy面的投影为D1,∑2在xoy面的投影为D2,则由高斯公式和第二类曲面积分的计算,得
∬ |
S |
=
∫∫ |
S+∑1+∑2 |
∬ |
∑1 |
∬ |
∑2 |
=
∫∫∫ |
Ω |
∫∫ |
D1 |
∫∫ |
D2 |
=
∫∫∫ |
Ω |
∫∫∫ |
Ω |
∫∫ |
D1 |
∫∫ |
D1 |
∫∫ |
D2 |
∫∫ |
D2 |
对于两个三重积分,由于被积函数x是关于x的奇函数,而积分立体区域Ω是关于yoz面对称的;被积函数y是关于y的奇函数,而积分立体区域Ω是关于xoz面对称的
因而
∫∫∫ |
Ω |
∫∫∫ |
Ω |
对于以D1为积分区域的二重积分,由于被积函数x和xy是关于x的奇函数,而积分区域D1是关于y轴对称的
因而
∫∫ |
D1 |
∫∫ |
D1 |
同理,
∫∫ |
D2 |
∫∫ |
D2 |
∴原式=0
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