设Ω是由曲面z=6-x2-y2及z＝x2+y2所围成的有界闭区域，求Ω的体积．

Question

设Ω是由曲面z=6-x²-y²及z＝√(x2+y2)所围成的有界闭区域，求Ω的体积．

Answer 1

由题意，z=6-x²-y²及z＝√(x2+y2)的交线为
6−x2−y2＝√(x2+y2)
解得：x²+y²=4（舍去x²+y²=9）
∴Ω在xoy面的投影为D={（x，y）|x²+y²≤4}
∴Ω的体积
V＝

∫∫∫

Ω

[6−x2−y2−√(x2+y2)]dxdydz
而Ω＝{(x，y，z)|√(x2+y2)≤z≤6−x2−y2，(x，y)∈D}
={（r，θ，z）|0≤θ≤2π，0≤r≤2，r≤z≤6-r²}
∴V＝

∫

2π 0

dθ

∫

2 0

rdr

∫

6−r2 r

[6−r2−r]dz
=2π

∫

2 0

(6r−r3−r2)dr
=(32π)/(3)