计算曲面积分I=∫∫xzdydz+2zydzdx+3xydxdy，其中∑为曲面z=1-x2-y24（0≤z≤1）的上侧．

Question

计算曲面积分I=

∫∫

xzdydz+2zydzdx+3xydxdy，其中∑为曲面z=1-x²-(y2)/(4)（0≤z≤1）的上侧．

Answer 1

补充曲面∑₁：

x2+(y2)/(4)＝1

z＝0

，取下侧，
则：
I=

∬

∑+∑1

xzdydz+2zydzdx+3xydxdy-

∬

∑1

xzdydz+2zydzdx+3xydxdy=

∭

Ω

(z+3z)dxdydz+

∬

D

3xydxdy，
其中，Ω 为∑与∑₁所围成的空间区域，D={（x，y）|x2+(y2)/(4)≤1}为∑₁在xOy面上的投影，
因为D关于x轴对称，3xy关于x为奇函数，
所以：

∬

D

3xydxdy=0，
利用垂直于z轴的平行平面去截Ω，所得截面为椭圆：D_z={（x，y）|x2+(y2)/(4)≤1−z}，截面面积为 2π（1-z），
可得：

∭

Ω

(z+2z)dxdydz=3

∭

Ω

zdxdydz=3

∫

1 0

zdz

∬

Dz

dxdy=3

∫

1 0

z•2π(1−z)dz=π．