己知：如图，正五边形的对角线AC和BE相交于点P．求证：（1）PE=AB；（2）PE2=BE•BP．

Question

己知：如图，正五边形的对角线AC和BE相交于点P．求证：

（1）PE=AB；
（2）PE²=BE•BP．

Answer 1

证明：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=EA，∠EAB=108°，
∴∠EBA=∠BEA=36°
在△EAB和△CBA中，
∵

EA=BC

∠EAB=∠CBA

AB=BA

，
∴△EAB≌△CBA（SAS）
∴∠CAB=∠EBA=36°
∴∠EPA=∠EAP=72°
∴PE=AE=AB，
（2）∵△AEB、△PAB都是底角为36°的等腰三角形，
∴△AEB∽△BAC，
∴(AB)/(BE)=(BP)/(AB)，
∴AB²=BE•BP，
又∵PE=AB，
∴PE²=AB²=BE•BP．