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(2009•潍坊)如图所示,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连接BD、DC.(1)求证:BD=DC=DI;(2)若圆O的半径为10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积.
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(2009•潍坊)如图所示,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连接BD、DC.
(1)求证:BD=DC=DI;
(2)若圆O的半径为10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积.
(1)求证:BD=DC=DI;
(2)若圆O的半径为10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵AI平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∴
=
,
∴BD=DC.
∵BI平分∠ABC,
∴∠ABI=∠CBI.
∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC,
∴∠BAD=∠DBC.
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠ABI+∠BAD,
∴∠DBI=∠DIB,
∴△BDI为等腰三角形,
∴BD=ID,
∴BD=DC=DI.
(2)当∠BAC=120°时,△ABC为钝角三角形,
∴圆心O在△ABC外.
连接OB、OD、OC.
∵BD=CD,
∴
=
,
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°,
∴∠DBC=∠DCB=60°,
∴△BDC为正三角形.
延长CO交BD于点E,则OE⊥BD,
∴BE=
BD,
又∵OB=10,
∴BD=2OBcos30°=2×10×
=10
.
∴CE=BD•sin60°=10
×
=15,
∴S△BDC=
BD•CE=
×10
∴∠BAD=∠DAC,
∴
BD |
DC |
∴BD=DC.
∵BI平分∠ABC,
∴∠ABI=∠CBI.
∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC,
∴∠BAD=∠DBC.
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠ABI+∠BAD,
∴∠DBI=∠DIB,
∴△BDI为等腰三角形,
∴BD=ID,
∴BD=DC=DI.
(2)当∠BAC=120°时,△ABC为钝角三角形,
∴圆心O在△ABC外.
连接OB、OD、OC.
∵BD=CD,
∴
BD |
CD |
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°,
∴∠DBC=∠DCB=60°,
∴△BDC为正三角形.
延长CO交BD于点E,则OE⊥BD,
∴BE=
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又∵OB=10,
∴BD=2OBcos30°=2×10×
| ||
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∴CE=BD•sin60°=10
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∴S△BDC=
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