抛物线与X轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点,与Y轴交于C（0,3）,设抛物线的顶点为D.该抛物线上是否存在点P使三角形ACP的面积=3倍三角形BCP.若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由

Question

抛物线与X轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点,与Y轴交于C（0,3）,设抛物线的顶点为D.该抛物线上是否存在点P
使三角形ACP的面积=3倍三角形BCP.若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由

Answer 1

假设存在满足题意的P点,设抛物线y=a（x
^2）+bx+c,有已知条件可求出a=-1,b=2,c=3,设P（x0,-x^2+2x+3）,直线BC：x+y-3=0,直线AC：3x-y+3=0,三角形BCP的面积=(1/2)%|BC|*d1,三角形ACP的面积=(1/2)*|AC|*d2,其中d1,d2分别是P点到BC,AC的距离,由三角形ACP的面积=3倍三角形BCP可解得,|x0*(x0-1)|=9|x0*(x0-3)|,下面分情况讨论,去掉绝对值符号：
（1）x0<0时,有x0*(x0-1)=9x0*(x0-3),解得x0=0或13/4,都不符合；
（2）0（3）1(4)x0>3时,有x0*(x0-1)=9x0*(x0-3),解得x0=0（舍去）或13/4（成立）,此时P为
（13/4,-17/16）