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在▱ABCD中,对角线BD⊥BC,G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形,∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E,连接AE交BD于F,连接GE.(1)若▱ABCD的面积为93,求AG的长;(2)求证:AE=BE+GE.
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(1)若▱ABCD的面积为9
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(2)求证:AE=BE+GE.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△ABG为等边三角形,
∴AB=AG=BG,∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
∵BD⊥BC,
∴∠ADB=∠DBC=90°,
∴∠DAB=
∠GAB=30°,
在Rt△ADB中,BD=
AB,AD=
AB,
∵S平行四边形ABCD=AD•BD=
AB2=9
,
∴AB=6,即AG=6;
(2)证明:在AE上取一点Q,使EQ=BE,连接BQ,
∵AE、BE分别平分∠BAD、∠DBC,
∴∠BAE=
∠BAD=15°,∠DBE=
∠DBC=45°,
∴∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°,
∴∠AEB=60°,
∵EQ=BE,
∴△BQE为等边三角形,
∴BE=BQ,∠QBE=60°,
∴∠ABD=∠QBE=60°,
∴∠ABQ=∠FBE,
在△ABQ和△GBE中,
,
∴△ABQ≌△GBE(SAS),
∴AQ=GE,
则AE=AQ+QE=GE+BE.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731055-3221.jpg)
∴AB=AG=BG,∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
∵BD⊥BC,
∴∠ADB=∠DBC=90°,
∴∠DAB=
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在Rt△ADB中,BD=
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∵S平行四边形ABCD=AD•BD=
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∴AB=6,即AG=6;
(2)证明:在AE上取一点Q,使EQ=BE,连接BQ,
∵AE、BE分别平分∠BAD、∠DBC,
∴∠BAE=
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∴∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°,
∴∠AEB=60°,
∵EQ=BE,
∴△BQE为等边三角形,
∴BE=BQ,∠QBE=60°,
∴∠ABD=∠QBE=60°,
∴∠ABQ=∠FBE,
在△ABQ和△GBE中,
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∴△ABQ≌△GBE(SAS),
∴AQ=GE,
则AE=AQ+QE=GE+BE.
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