在▱ABCD中，对角线BD⊥BC，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为93，求AG的长；（2）求证：AE=BE+GE．

Question

在▱ABCD中，对角线BD⊥BC，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE．
（1）若▱ABCD的面积为9√(3)，求AG的长；
（2）求证：AE=BE+GE．

Answer 1

（1）∵△ABG为等边三角形，
∴AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BD⊥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∴∠DAB=(1)/(2)∠GAB=30°，
在Rt△ADB中，BD=(1)/(2)AB，AD=(√(3))/(2)AB，
∵S_{平行四边形ABCD}=AD•BD=(√(3))/(4)AB²=9√(3)，
∴AB=6，即AG=6；
（2）证明：在AE上取一点Q，使EQ=BE，连接BQ，
∵AE、BE分别平分∠BAD、∠DBC，
∴∠BAE=(1)/(2)∠BAD=15°，∠DBE=(1)/(2)∠DBC=45°，
∴∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，
∴∠AEB=60°，
∵EQ=BE，
∴△BQE为等边三角形，
∴BE=BQ，∠QBE=60°，
∴∠ABD=∠QBE=60°，
∴∠ABQ=∠FBE，
在△ABQ和△GBE中，

AB＝BQ

∠ABQ＝∠FBE

BQ＝BE

，
∴△ABQ≌△GBE（SAS），
∴AQ=GE，
则AE=AQ+QE=GE+BE．