（2008•朝阳区二模）三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成

Question

（2008•朝阳区二模）三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小．

Answer 1

方法1：
（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP．（1分）
因为EF、GF⊄平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．
又EF∩GF=F，
所以平面GFE∥平面PCB．（3分）
（Ⅱ）过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H．
连接HB．

因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC．
所以HB⊥PA．
所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角．（6分）
依条件容易求出CH=(2)/(√(5))．
所以tan∠BHC=(1)/((2)/(√(5)))=(√(5))/(2)．
所以∠BHC=arctan(√(5))/(2)．
所以二面角B-AP-C的大小是arctan(√(5))/(2)．（8分）

（Ⅲ）解法1：如图，设PB的中点为K，
连接KC，AK，因为△PCB为等腰直角三角形，
所以KC⊥PB．
又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，
所以AC⊥平面PCB．
所以AK⊥PB．
因为AK∩KC=K，
所以PB⊥平面AKC．
又PB⊂平面PAB，
所以平面AKC⊥平面PAB．
在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M．
因为平面AKC⊥平面PAB，
所以FM⊥平面PAB．
连接PM，
所以∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．（11分）
容易求出PF=√(2)，FM=

作业搜用户 2017-11-10