已知：矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中点，M为CD上的一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N．（1）通过观察或测量BP与CM的长度，你能得到什么结论，不必证明；（2）求证：BP2+CN2=PN2；（3）过

Question

已知：矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中点，M为CD上的一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N．
（1）通过观察或测量BP与CM的长度，你能得到什么结论，不必证明；
（2）求证：BP²+CN²=PN²；
（3）过点P作PG⊥EN于点G，判断点G与△EDM的外接圆的位置关系？并说明理由．

Answer 1

（1）结论：BP=CM；

（2）证明：如图1，连接BE、CE，
∵四边形ABCD为矩形，AD=2AB，E为AD中点，
∴∠A=∠ABC=90°，AB=CD=AE=DE，
∴∠AEB=45°，∠DEC=45°，
在△ABE和△DCE中，

AB=CD

∠AEB=∠DEC

AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），∠BEC=90°，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠EBC=∠ECD，
又∵∠BEC=∠PEM=90°，
∴∠BEP=∠MEC，
在△BEP和△CEM中，

∠EBP=∠ECM

BE=CE

∠BEP=∠CEM

，
∴△BEP≌△CEM（ASA），
∴BP=MC，PE=ME，
∵EN平分∠PEM，
∴∠PEN=∠MEN=(1)/(2)=45°，
在△EPN和△EMN中，

PE=ME

∠PEN=∠MEN

NE=NE

，
∴△EPN≌△EMN（SAS），
∴PN=MN，
在Rt△MNC中有：MC²+NC²=MN²，
∴BP²+NC²=PN²．

（3）点G在△EDM的外接圆上，
理由：如图2，连接BE、CE、PM，
由（2），可得
PN=MN，PE=ME，
∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，
∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，
∵K为EM中点，
∴GK=(1)/(2)ME，
又∵∠ADC=90°，
∴DK=(1)/(2)ME，
∴GK=DK=EK=MK，
∴点G在以K为圆心，DK为半径的圆上，即点G在△EDM的外接圆上．