如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD，求证：（1）△BEF为等腰直角三角形；（2）∠ADC=∠BDG．

Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD，求证：

（1）△BEF为等腰直角三角形；
（2）∠ADC=∠BDG．

Answer 1

证明：（1）如图1，连接DE，

∵点E与点C关于直线AD对称，
∴AD垂直平分EC，
∴CF=EF，CD=DE，
∵D为BC的中点，
∴CD=ED=BD，
∴∠CEB=90°，
即△BEF是直角三角形，
∵AD垂直平分CE，
∴∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°，∠ECB+∠ACF=90°，
∴∠CAF=∠ECB，
在△CAF和△BCE中，

∠AFC=∠CEB

∠CAF=∠ECB

AC=BC

，
∴△CAF≌△ECB，
∴CF=BE，
∵EF=CF，
∴EF=BE，
∴△BEF是等腰直角三角形；

（2）如图2，作BM⊥BC交CE的延长线于M，

则∠ACD=∠CBM=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠MBG=∠DBG=45°，
在△ACD和△CBM中

∠CAD=∠BCM

AC=BC

∠ACD=∠CBM

∴△ACD≌△CBM（ASA），
∴∠ADC=∠M，CD=BM，
∵CD=BD，
∴BD=BM，
在△DBG和△MBG中

BG=BG

∠DBG=∠MBG

BD=BM

∴△DBG≌△MBG（SAS），
∴∠M=∠BDG，
∵∠ADC=∠M，
∴∠ADC=∠BDG．