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如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为BC的中点,点E与点C关于直线AD对称,CE与AD、AB分别交于点F、G,连接BE、BF、GD,求证:(1)△BEF为等腰直角三角形;(2)∠ADC=∠BDG.
题目详情
如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为BC的中点,点E与点C关于直线AD对称,CE与AD、AB分别交于点F、G,连接BE、BF、GD,求证:
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(1)△BEF为等腰直角三角形;
(2)∠ADC=∠BDG.
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(1)△BEF为等腰直角三角形;
(2)∠ADC=∠BDG.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图1,连接DE,
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∵点E与点C关于直线AD对称,
∴AD垂直平分EC,
∴CF=EF,CD=DE,
∵D为BC的中点,
∴CD=ED=BD,
∴∠CEB=90°,
即△BEF是直角三角形,
∵AD垂直平分CE,
∴∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°,
∴∠CAF+∠ACF=90°,∠ECB+∠ACF=90°,
∴∠CAF=∠ECB,
在△CAF和△BCE中,
,
∴△CAF≌△ECB,
∴CF=BE,
∵EF=CF,
∴EF=BE,
∴△BEF是等腰直角三角形;
(2)如图2,作BM⊥BC交CE的延长线于M,
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则∠ACD=∠CBM=90°,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB=45°,
∴∠MBG=∠DBG=45°,
在△ACD和△CBM中
∴△ACD≌△CBM(ASA),
∴∠ADC=∠M,CD=BM,
∵CD=BD,
∴BD=BM,
在△DBG和△MBG中
∴△DBG≌△MBG(SAS),
∴∠M=∠BDG,
∵∠ADC=∠M,
∴∠ADC=∠BDG.
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∵点E与点C关于直线AD对称,
∴AD垂直平分EC,
∴CF=EF,CD=DE,
∵D为BC的中点,
∴CD=ED=BD,
∴∠CEB=90°,
即△BEF是直角三角形,
∵AD垂直平分CE,
∴∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°,
∴∠CAF+∠ACF=90°,∠ECB+∠ACF=90°,
∴∠CAF=∠ECB,
在△CAF和△BCE中,
|
∴△CAF≌△ECB,
∴CF=BE,
∵EF=CF,
∴EF=BE,
∴△BEF是等腰直角三角形;
(2)如图2,作BM⊥BC交CE的延长线于M,
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则∠ACD=∠CBM=90°,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB=45°,
∴∠MBG=∠DBG=45°,
在△ACD和△CBM中
|
∴△ACD≌△CBM(ASA),
∴∠ADC=∠M,CD=BM,
∵CD=BD,
∴BD=BM,
在△DBG和△MBG中
|
∴△DBG≌△MBG(SAS),
∴∠M=∠BDG,
∵∠ADC=∠M,
∴∠ADC=∠BDG.
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