正方形ABCD与正方形CEFG,有公共顶点C,点P为AF的中点,证PB=PE

Question

正方形ABCD与正方形CEFG,有公共顶点C,点P为AF的中点,证PB=PE

Answer 1

其实这个图形很特殊,不仅PB=PE,而且PB⊥PE

我有两种方法证明,可能第一种有点复杂

方法1）

延长BP至G,截取PG=BP,连接BE,AG,EG,BF,连接FG交BC于M,交EC与N

思路：构造平行四边形ABFG,创造全等三角形.

大致方法：△BCE≌△GEF（SAS）,

得GE=BE,∠BEC=∠GEF

再得∠BEG=∠CEF=90°,即△BEG是等腰直角三角形,

∵BP=PG,

∴PB=PE, PB⊥PE

详细证明：

∵AP=PF,BP=PG

∴四边形ABFG是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

∴AB=GF,AB‖GF（平行四边形两组对边分别相等且平行）

∵正方形ABCD中

∴AB=BC（正方形各边相等）

∴∠DCB=90°（正方形各角90°）

∴DF=BC

同理,EC=EF,∠CEF=90°

∵AB‖GF

∴∠DCB=∠GMB=90°

∴∠NMC=∠BMG=90°

∵△CMN中,∠CMN+∠CNM+∠NCM=180°

△ENF中,∠NEF+∠FEN+∠NFE=180°

∵∠CNM=∠FEN

∴∠NCM=∠NFE

在△BCE与△GFE中

BC=GF

∠BCE=∠GFE

EC=EF

∴△BCE≌△GFE（SAS）

∴GE=BE,∠BEC=∠GEF

∴∠BEC-∠GEC=∠GEF-∠DEC

即∠BEG=∠CEF=90°

∴△BEG是等腰直角三角形,

∵BP=PG,

∴PB=PE, PB⊥PE

方法2）

连接AC,CF,取AC中点M,CF中点N,连接BM,PM,PN,EN,延长NP交BM于J

思路：直接构造三角形全等（较简洁）

大致方法：△BMP≌△NPE

得 PB=PE,∠PBM=∠EPN

∴∠EPN+∠BPJ=∠MBP+∠BPJ=∠MJP=90°

∵∠EPN+∠BPJ+∠BPE=180°

∴∠BPE=90°

即BP⊥EP

详细证明：

∵正方形ABCD中

∴AB=BC（正方形各边相等）

∴∠ABC=90°（正方形各角90°）

即△ABC是等腰直角三角形

∵M是AC中点

∴BM=½AC,∠BMC=90°

同理,EN=½CF,∠ENC=90°

∴∠BMC=∠ENC

∵P是AF中点,M是AC中点

∴PM‖CF,PM=½CF

∴PN‖MC,PN=½AC

∴BM=PN,PM=EN

∴四边形MPNC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

∴∠PMC=∠PNC（平行四边形对角相等）

∴∠BMC-∠PMC=∠ENC-∠PNC

即∠BMP=∠PNE

在△BMP与△PNE中

BM=PN

∠BMP=∠PNE

PM=EN

∴PB=PE,∠PBM=∠EPN

∵NP‖MC,∠BMC=90°

∴∠MJP=90°

∴∠EPN+∠BPJ=∠MBP+∠BPJ=∠MJP=90°

∵∠EPN+∠BPJ+∠BPE=180°

∴∠BPE=90°

即BP⊥EP

【打字很辛苦,楼主能不能加点悬赏啊!】