如图，BD，CE是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是△ABC的外心．求证：AO∥FG．

Question

如图，BD，CE是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是△ABC的外心．求证：AO∥FG．

Answer 1

证明：如图，连接GD和GE．
∵∠BDC=∠BEC=90°，BG=GC，
∴DG＝(1)/(2)BC＝EG，
又∵DF=EF，
∴GF⊥DE，
延长OA交DE于H．
∵∠BDC=∠BEC=90°
∴B，C，E，D四点共圆，∠DEB＝∠DCB＝(1)/(2)∠AOB，
即∠AEH＝(1)/(2)∠AOB，
又∵OA=OB，
∴∠EAH＝∠BAO＝90°−(1)/(2)∠AOB，∠EAH+∠AEH=90°，
∴AD⊥DE，
即OA⊥DE
∴AO∥FG．