如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，AB=3，PA=AC=1．（1）求证：AE⊥PB；（2）求二面角A-PB-C的正弦值．

Question

如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，AB=√(3)，PA=AC=1．

（1）求证：AE⊥PB；
（2）求二面角A-PB-C的正弦值．

Answer 1

证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC
∴PA⊥BC，
又AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，又PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC
∴BC⊥AE…（3分）
∵PA=AC，E是PC的中点
∴AE⊥PC，又BC∩PC=C
∴AE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC
∴AE⊥PB． …（6分）
（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF
又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF=A
∴PB⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF
∴PB⊥EF，又AF⊥PB
∴∠AFE是二面角A-PB-C的平面角…（9分）
∵在Rt△PAC中，PA=AC=1，则PC=√(2)，AE=(PA•AC)/(PC)=(√(2))/(2)
在Rt△PAB中，PA=1，AB=√(3)，同理得AF=(√(3))/(2)
∴在Rt△AEF中，sin∠AFE=(AE)/(AF)=((√(2))/(2))/((√(3))/(2))=(√(6))/(3)
故二面角A-PB-C的正弦值为(√(6))/(3)．…（12分）