已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．（1）如图1，若△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为；（2）如图2，若△BEF的直角边BE在BC上，

Question

已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．

（1）如图1，若△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为______；
（2）如图2，若△BEF的直角边BE在BC上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；
（3）如图3，若△BEF的直角边BE在∠DBC内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．

Answer 1

（1）GC=EG，理由如下：
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=90°，又G为斜边DF的中点，
∴EG=(1)/(2)DF，
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，又G为斜边DF的中点，
∴CG=(1)/(2)DF，
∴GC=EG；

（2）成立．
如图，延长EG交CD于M，
∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，
∴EF∥CD，
∴∠EFG=∠MDG，
又∠EGF=∠DGM，DG=FG，
∴△GEF≌△GMD，
∴EG=MG，即G为EM的中点．
∴CG为直角△ECM的斜边上的中线，
∴CG=GE=(1)/(2)EM；

（3）成立．
取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC．
∵CB=CD，∠DCB=90°，∴CO＝(1)/(2)BD．
∵DG=GF，
∴GH∥BD，且GH=(1)/(2)BD，
OG∥BF，且OG=(1)/(2)BF，
∴CO=GH．∵△BEF为等腰直角三角形．
∴EH＝(1)/(2)BF．∴EH=OG．
∵四边形OBHG为平行四边形，
∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．
∴∠GOC=∠EHG．
∴△GOC≌△EHG．
∴EG=GC．