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已知,正方形ABCD中,△BEF为等腰直角三角形,且BF为底,取DF的中点G,连接EG、CG.(1)如图1,若△BEF的底边BF在BC上,猜想EG和CG的数量关系为;(2)如图2,若△BEF的直角边BE在BC上,
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已知,正方形ABCD中,△BEF为等腰直角三角形,且BF为底,取DF的中点G,连接EG、CG.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731088-6923.jpg)
(1)如图1,若△BEF的底边BF在BC上,猜想EG和CG的数量关系为______;
(2)如图2,若△BEF的直角边BE在BC上,则(1)中的结论是否还成立?请说明理由;
(3)如图3,若△BEF的直角边BE在∠DBC内,则(1)中的结论是否还成立?说明理由.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731088-6923.jpg)
(1)如图1,若△BEF的底边BF在BC上,猜想EG和CG的数量关系为______;
(2)如图2,若△BEF的直角边BE在BC上,则(1)中的结论是否还成立?请说明理由;
(3)如图3,若△BEF的直角边BE在∠DBC内,则(1)中的结论是否还成立?说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)GC=EG,理由如下:
∵△BEF为等腰直角三角形,
∴∠DEF=90°,又G为斜边DF的中点,
∴EG=
DF,
∵ABCD为正方形,
∴∠BCD=90°,又G为斜边DF的中点,
∴CG=
DF,
∴GC=EG;
(2)成立.
如图,延长EG交CD于M,
∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731088-7152.jpg)
∴EF∥CD,
∴∠EFG=∠MDG,
又∠EGF=∠DGM,DG=FG,
∴△GEF≌△GMD,
∴EG=MG,即G为EM的中点.
∴CG为直角△ECM的斜边上的中线,
∴CG=GE=
EM;
(3)成立.
取BF的中点H,连接EH,GH,取BD的中点O,连接OG,OC.
∵CB=CD,∠DCB=90°,∴CO=
BD.![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731088-5563.jpg)
∵DG=GF,
∴GH∥BD,且GH=
BD,
OG∥BF,且OG=
BF,
∴CO=GH.∵△BEF为等腰直角三角形.
∴EH=
BF.∴EH=OG.
∵四边形OBHG为平行四边形,
∴∠BOG=∠BHG.∵∠BOC=∠BHE=90°.
∴∠GOC=∠EHG.
∴△GOC≌△EHG.
∴EG=GC.
∵△BEF为等腰直角三角形,
∴∠DEF=90°,又G为斜边DF的中点,
∴EG=
1 |
2 |
∵ABCD为正方形,
∴∠BCD=90°,又G为斜边DF的中点,
∴CG=
1 |
2 |
∴GC=EG;
(2)成立.
如图,延长EG交CD于M,
∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731088-7152.jpg)
∴EF∥CD,
∴∠EFG=∠MDG,
又∠EGF=∠DGM,DG=FG,
∴△GEF≌△GMD,
∴EG=MG,即G为EM的中点.
∴CG为直角△ECM的斜边上的中线,
∴CG=GE=
1 |
2 |
(3)成立.
取BF的中点H,连接EH,GH,取BD的中点O,连接OG,OC.
∵CB=CD,∠DCB=90°,∴CO=
1 |
2 |
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731088-5563.jpg)
∵DG=GF,
∴GH∥BD,且GH=
1 |
2 |
OG∥BF,且OG=
1 |
2 |
∴CO=GH.∵△BEF为等腰直角三角形.
∴EH=
1 |
2 |
∵四边形OBHG为平行四边形,
∴∠BOG=∠BHG.∵∠BOC=∠BHE=90°.
∴∠GOC=∠EHG.
∴△GOC≌△EHG.
∴EG=GC.
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