已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；（2）若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN的长．

Question

已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN的长．

Answer 1

（1）线段MN与BD垂直．
连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道
MB=(AC)/(2)，MD=(AC)/(2)，所以MB=MD．
三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：
MN垂直BD．

（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，
∵M是AC的中点，
∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，
∴在Rt△BEM中，∠EMB=30°，
∵AC=4，∴BM=2，
∴BE=1，EM=√(3)，MD=2，
从而可知
BD=√(1+(2+√(3))2)=2√(2+√(3))
∴BN=√(2+√(3))．
由Rt△BMN可得：
MN=√(22−(√(2+√(3)))2)=√(2−√(3))．
如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD=(1)/(2)AC，MB(1)/(2)AC，
∴MD=MB，
∵∠BAC=30°，∠CAD=45°，
∴∠BMC=60°，∠DMC=90°，
∴∠BMD=30°，
∴∠BDM=(180−30)/(2)=75°，
∵∠MDA=45°
∴∠EDB=180°-∠BDM-∠MDA=60°，
令ED=x，则BE=√(3)x，AD=2√(2)，AB=2√(3)，
∴由Rt△ABE可得：（2√(3)）²=（√(3)x）²+（x+2√(2)）²，
解得x=√(2−√(3))，则BD=2√(2−√(3))，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD=2   DN=√(2−√(3))．
由Rt△MND可得：
MN=√(22−(√(2−√(3)))2)=√(2+√(3))．