如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．

Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．

（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；
（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．

Answer 1

证明：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD，
∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，
连接DM，则DM⊥AB，
∵AB∥CD，∠BCD=90°，
∴四边形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，
∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．
（2）当CN=1，即N是CE的中点时，MN∥平面BEF．
证明如下：
过N作NO∥EF，交EF于O，连结MO，
∵EC∥FD，∴四边形EFON是平行四边形，
∵EC=2，FD=3，∴OF=1，∴OD=2，
连结OE，则OE∥DC∥MB，且OE=DC=MB，
∴四边形BMON是平行四边形，则OM∥BE，又OM∩ON=O，
∴平面OMN∥平面BEF，
∵MN⊂平面OMN，∴MN∥平面BEF．