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如图所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=2,AF=BF,EC∥FD,FD⊥底面ABCD,M是AB的中点.(1)求证:平面CFM⊥平面BDF;(2)点N在CE上,EC=2,FD=3,当CN为何值时,MN∥平面BEF.
题目详情
如图所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=2,AF=BF,EC∥FD,FD⊥底面ABCD,M是AB的中点.
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(1)求证:平面CFM⊥平面BDF;
(2)点N在CE上,EC=2,FD=3,当CN为何值时,MN∥平面BEF.
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(1)求证:平面CFM⊥平面BDF;
(2)点N在CE上,EC=2,FD=3,当CN为何值时,MN∥平面BEF.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵FD⊥底面ABCD,∴FD⊥AD,FD⊥BD,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533725591-5239.jpg)
∵AF=BF,∴△ADF≌△BDF,∴AD=BD,
连接DM,则DM⊥AB,
∵AB∥CD,∠BCD=90°,
∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM,
∵DF⊥CM,∴CM⊥平面BDF.
(2)当CN=1,即N是CE的中点时,MN∥平面BEF.
证明如下:
过N作NO∥EF,交EF于O,连结MO,
∵EC∥FD,∴四边形EFON是平行四边形,
∵EC=2,FD=3,∴OF=1,∴OD=2,
连结OE,则OE∥DC∥MB,且OE=DC=MB,
∴四边形BMON是平行四边形,则OM∥BE,又OM∩ON=O,
∴平面OMN∥平面BEF,
∵MN⊂平面OMN,∴MN∥平面BEF.
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∵AF=BF,∴△ADF≌△BDF,∴AD=BD,
连接DM,则DM⊥AB,
∵AB∥CD,∠BCD=90°,
∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM,
∵DF⊥CM,∴CM⊥平面BDF.
(2)当CN=1,即N是CE的中点时,MN∥平面BEF.
证明如下:
过N作NO∥EF,交EF于O,连结MO,
∵EC∥FD,∴四边形EFON是平行四边形,
∵EC=2,FD=3,∴OF=1,∴OD=2,
连结OE,则OE∥DC∥MB,且OE=DC=MB,
∴四边形BMON是平行四边形,则OM∥BE,又OM∩ON=O,
∴平面OMN∥平面BEF,
∵MN⊂平面OMN,∴MN∥平面BEF.
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