如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC、BD的交点，E，F分别是AB与AD的中点．（1）求证：直线OD1与直线A1C1垂直；（2）求异面直线EF与A1C1所成角的大小；（3）求二面角B-AC-D1的大小．

Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC、BD的交点，E，F分别是AB与AD的中点．
（1）求证：直线OD₁与直线A₁C₁垂直；
（2）求异面直线EF与A₁C₁所成角的大小；
（3）求二面角B-AC-D₁的大小．

Answer 1

（1）∵A₁C₁∥AC，∴AC与OD₁所成的角就是所求的角； …（1分）
∵AC⊥BD，AC⊥DD₁，∴AC⊥平面D₁DO…（3分）
∴AC⊥OD₁，即OD₁与AC所成的角为90°…（5分）
∴直线OD₁与直线A₁C₁垂直；
（2）∵A₁C₁∥AC，∴AC与EF所成的角就是所求的角；      …（6分）
又E，F分别是AB，AD的中点，∴AC⊥EF…（8分）
则EF与A₁C₁所成的角为90°…（10分）
（3）∵BO⊥AC，D₁O⊥AC，∴∠D₁OB是二面角B-AC-D₁的平面角…（12分）
在△D₁OB中，BO＝(√(2))/(2)a，OD1＝√((3)/(2))a，BD1＝√(3)a，
由余弦定理得：cos∠D1OB＝((1)/(2)a2+(3)/(2)a2−3a2)/(2×(√(2))/(2)a×√((3)/(2)a))＝−(√(3))/(3)…（15分）
因此，所求二面角B-AC-D₁的大小为π−arccos

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