如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，DE⊥AB于E，交AC于F．连接BD交AC于G．（1）求证：∠DAC=∠ADE；（2）若⊙O半径为5，OE=3，求DE、DF的长．

Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，D是

AC

的中点，DE⊥AB于E，交AC于F．连接BD交AC于G．
（1）求证：∠DAC=∠ADE；
（2）若⊙O半径为5，OE=3，求DE、DF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵D是

AC

的中点，
∴∠DBA=∠DAC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴∠DAB+∠EDA=90°．
∴∠DBA=∠EDA．
∴∠DAC=∠ADE．

（2）在Rt△ODE中，DE=√(OD2−OE2)＝4，设DF=x，
∵∠DAC=∠ADE，
∴DF=AF=x，FE=4-x．
在Rt△AFE中，由AF²=FE²+AE²，AE=2，得：x²=2²+（4-x）²，
解得：x=2.5，
答：DE为4，DF值为2.5．