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如图,∠ABM为直角,点C为线段BA的中点,点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合),连接AD,作BE⊥AD,垂足为E,连接CE,过点E作EF⊥CE,交BD于F.(1)求证:BF=FD;(2)∠A在什么范围内变
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如图,∠ABM为直角,点C为线段BA的中点,点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合),连接AD,作BE⊥AD,垂足为E,连接CE,过点E作EF⊥CE,交BD于F.
(1)求证:BF=FD;
(2)∠A在什么范围内变化时,四边形ACFE是梯形,并说明理由;
(3)∠A在什么范围内变化时,线段DE上存在点G,满足条件DG=
DA,并说明理由.
(1)求证:BF=FD;
(2)∠A在什么范围内变化时,四边形ACFE是梯形,并说明理由;
(3)∠A在什么范围内变化时,线段DE上存在点G,满足条件DG=
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:在Rt△AEB中,
∵AC=BC,
∴CE=
AB,
∴CB=CE,
∴∠CEB=∠CBE.
∵∠CEF=∠CBF=90°,
∴∠BEF=∠EBF,
∴EF=BF.
∵∠BEF+∠FED=90°,∠EBD+∠EDB=90°,
∴∠FED=∠EDF.
∴BF=FD;
(2)由(1)BF=FD,而BC=CA,
∴CF∥AD,即AE∥CF.
若AC∥EF,则AC=EF,
∴BC=BF.∴BA=BD,∠A=45°.
∴0°<∠A<90°且∠A≠45°时,四边形ACFE为梯形;
(3)作GH⊥BD,垂足为H,则GH∥AB.
∵DG=
DA,
∴DH=
DB.
又F为BD中点,
∴H为DF的中点.
∴GH为DF的中垂线.
∴∠GDF=∠GFD.
∵点G在ED上,
∴∠EFD≥∠GFD.
∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°,
∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度.
∴3∠EDF≤180度.
∴∠EDF≤60度.
又∠A+∠EDF=90°,
∴30°≤∠A<90°.
∴当30°≤∠A<90°时,
DE上存在点G,满足条件DG=
DA.
∵AC=BC,
∴CE=
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∴CB=CE,
∴∠CEB=∠CBE.
∵∠CEF=∠CBF=90°,
∴∠BEF=∠EBF,
∴EF=BF.
∵∠BEF+∠FED=90°,∠EBD+∠EDB=90°,
∴∠FED=∠EDF.
∴BF=FD;
(2)由(1)BF=FD,而BC=CA,
∴CF∥AD,即AE∥CF.
若AC∥EF,则AC=EF,
∴BC=BF.∴BA=BD,∠A=45°.
∴0°<∠A<90°且∠A≠45°时,四边形ACFE为梯形;
(3)作GH⊥BD,垂足为H,则GH∥AB.
∵DG=
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∴DH=
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又F为BD中点,
∴H为DF的中点.
∴GH为DF的中垂线.
∴∠GDF=∠GFD.
∵点G在ED上,
∴∠EFD≥∠GFD.
∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°,
∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度.
∴3∠EDF≤180度.
∴∠EDF≤60度.
又∠A+∠EDF=90°,
∴30°≤∠A<90°.
∴当30°≤∠A<90°时,
DE上存在点G,满足条件DG=
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