如图，∠B=∠C=90°，AD=AB+CD，DM平分∠ADC，求证：M是BC的中点．

Question

如图，∠B=∠C=90°，AD=AB+CD，DM平分∠ADC，求证：M是BC的中点．

Answer 1

证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC，
∴∠1=∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在Rt△DEM和Rt△DCM中

DM=DM

EM=CM

∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴DC=DE，
∵AD=AB+CD，
∴AE=AB，
∵ME⊥AD，∠B=90°，
∴∠AEM=∠B=90°，
∴在Rt△AEM和Rt△ABM中

AM=AM

AE=AB

∴Rt△AEM≌Rt△ABM（HL），
∴EM=BM，
∵EM=CM，
∴CM=BM，
即M是BC的中点．