在平行四边形ABCD中,AB＝5,BC＝10,F为AD的中点,CE垂直AB于E,设角ABC＝a当a大于60度小于90度时,是否存在角EFD＝k角AEF?求正整数k的值

Question

在平行四边形ABCD中,AB＝5,BC＝10,F为AD的中点,CE垂直AB于E,设角ABC＝a当a大于60度小于90度时,是否存在角EFD＝k角AEF?求正整数k的值

Answer 1

存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G,
∵F为AD的中点,∴AF=FD,
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,
∴∠G=∠DCF
∴△AFG≌△CFD（AAS）,∴CF=GF,AG=CD,
∵CE⊥AB,∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）,
∴∠AEF=∠G,
∵AB=5,BC=10,点F是AD的中点,
∴AG=5,AF=1/2AD=1/2BC=5,∴AG=AF,∴∠AFG=∠G,
在△AFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,
又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等）,
∴∠CFD=∠AEF,
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,
因此,存在正整数k=3,使得∠EFD=3∠AEF；