如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.

Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.

Answer 1

外接球体积为 ×OA ³ = · · =

 由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1


∴折叠后得到一个正四面体.                             2分
方法一 作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心.
取EC的中点G，连接DG、AG，
过球心O作OH⊥平面AEC.
则垂足H为△AEC的中心.                                4分
∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.
∵AG= ，AF= = ，                     6分
在△AFG和△AHO中，根据三角形相似可知，
AH= .∴OA= = = .                 10分
∴外接球体积为 ×OA ³ = · · = .        14分
方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体
的外接球就是正方体的外接球.                          6分
∵正四面体的棱长为1，
∴正方体的棱长为 ，∴外接球直径2R= · ，           10分
∴R= ，∴体积为 · = .                   12分
∴该三棱锥外接球的体积为 .                        14分