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(2012•海淀区一模)在▱ABCD中,∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点,连接NP.(1)如图1,若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关
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(2012•海淀区一模)在▱ABCD中,∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点,连接NP.
(1)如图1,若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系,请直接写出你的结论;
(2)如图2,若点M在线段EF上,当点M在何位置时,你在(1)中得到的结论仍然成立,写出你确定的点M的位置,并证明(1)中的结论.
(1)如图1,若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系,请直接写出你的结论;
(2)如图2,若点M在线段EF上,当点M在何位置时,你在(1)中得到的结论仍然成立,写出你确定的点M的位置,并证明(1)中的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)答:NP=MN,∠ABD+∠MNP=180°;
证明:连接CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠BCD,AB∥CD,
∴∠ABD=∠BDC,
∵∠A=∠DBC,
∴∠DBC=∠BCD,∠EDF=∠ABD,
∴DB=DC,∠BDC=∠EDF,
∵P是BC的中点,
∴DP⊥BC,∠PDC=
∠BDC,
∴∠PDC=
∠EDF,
∵DE=DF,
∴DM⊥EF,EM=FM,
∴FC=EC,
∵EN=CN,
∴MN∥FC,MN=
FC,
在Rt△ECP中,N是EC的中点,
∴NP=
EC,
∴NP=MN;
∵NP=NC=
CE,
∴∠NPC=∠NCP,
∴∠ENP=2∠NCP,
∵EC=FC,EM=FM,
∴∠ECF=2∠ECM,
∵MN∥FC,
∴∠ENM=∠ECF=2∠ECM,
∵∠EDF=2∠EDC,
∴∠ABD+∠MNP=∠EDF+∠ENP+∠ENM=2∠EDC+2∠ECP+2∠ECM=2(∠EDC+∠ECP+∠ECM)=2(∠EDC+∠PCD)=2×90°=180°.
(2)答:点M是线段EF的中点.
证明:如图,分别连接BE、CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥DC,∠A=∠DCB,
∴∠ABD=∠BDC.
∵∠A=∠DBC,
∴∠DBC=∠DCB.
∴DB=DC.①
∵∠EDF=∠ABD,
∴∠EDF=∠BDC.
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.
即∠BDE=∠CDF.②
又 DE=DF,③
由①②③得△BDE≌△CDF.
∴EB=FC,∠1=∠2.
∵N、P分别为EC、BC的中点,
∴NP∥EB,NP=
EB.
同理可得 MN∥FC,MN=
FC.
∴NP=NM.
∵NP∥EB,
∴∠NPC=∠4.
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.
∵MN∥FC,
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD.
∴∠ABD+∠MNP=180°.
证明:连接CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠BCD,AB∥CD,
∴∠ABD=∠BDC,
∵∠A=∠DBC,
∴∠DBC=∠BCD,∠EDF=∠ABD,
∴DB=DC,∠BDC=∠EDF,
∵P是BC的中点,
∴DP⊥BC,∠PDC=
1 |
2 |
∴∠PDC=
1 |
2 |
∵DE=DF,
∴DM⊥EF,EM=FM,
∴FC=EC,
∵EN=CN,
∴MN∥FC,MN=
1 |
2 |
在Rt△ECP中,N是EC的中点,
∴NP=
1 |
2 |
∴NP=MN;
∵NP=NC=
1 |
2 |
∴∠NPC=∠NCP,
∴∠ENP=2∠NCP,
∵EC=FC,EM=FM,
∴∠ECF=2∠ECM,
∵MN∥FC,
∴∠ENM=∠ECF=2∠ECM,
∵∠EDF=2∠EDC,
∴∠ABD+∠MNP=∠EDF+∠ENP+∠ENM=2∠EDC+2∠ECP+2∠ECM=2(∠EDC+∠ECP+∠ECM)=2(∠EDC+∠PCD)=2×90°=180°.
(2)答:点M是线段EF的中点.
证明:如图,分别连接BE、CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥DC,∠A=∠DCB,
∴∠ABD=∠BDC.
∵∠A=∠DBC,
∴∠DBC=∠DCB.
∴DB=DC.①
∵∠EDF=∠ABD,
∴∠EDF=∠BDC.
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.
即∠BDE=∠CDF.②
又 DE=DF,③
由①②③得△BDE≌△CDF.
∴EB=FC,∠1=∠2.
∵N、P分别为EC、BC的中点,
∴NP∥EB,NP=
1 |
2 |
同理可得 MN∥FC,MN=
1 |
2 |
∴NP=NM.
∵NP∥EB,
∴∠NPC=∠4.
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.
∵MN∥FC,
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD.
∴∠ABD+∠MNP=180°.
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