设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1-3Sn=1．（1）求证：数列{an}为等比数列；（2）数列{an}是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由

Question

设首项为1的正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+1-3S_n=1．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）数列{a_n}是否存在一项a_k，使得a_k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N^*，r≥2）项的和？请说明理由；
（3）设bn=(n)/(an+1)(n∈N*)，试问是否存在正整数p，q（1<p<q）使b₁，b_p，b_q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵S_n+1-3S_n=1，
∴当n≥2时，S_n-3S_n-1=1，
两式相减得：a_n+1=3a_n，
又∵S_n+1-3S_n=1，a₁=1，
∴a₂=S₂-S₁=2a₁+1=3满足上式，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为3的等比数列；
（2） 结论：不存在满足题意的项a_k；
理由如下：
由（1）可知a_n=3^n-1，S_n=(1-3n)/(1-3)=(1)/(2)（3ⁿ-1），
假设数列{a_n}中存在一项a_k，使得a_k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N^*，r≥2）项的和，
则3^k-1=S_r+t-S_t=(1)/(2)（3^r+t-1）-(1)/(2)（3^t-1）=(1)/(2)（3^r+t-3^t）=(1)/(2)•3^t（3^r-1），
于是(1)/(2)（3^r-1）=3^x（其中x为大于1的自然数），
整理得：3^r-x-(1)/(3x)=2，
显然r无解，故假设不成立，
于是不存在满足题意的项a_k；
（3） 结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；
理由如下：
由（1）可知b_n=(n)/(3n)，
假设存在正整数p，q（1<p<q）使b₁，b_p，b_q成等差数列，
则2b_p=b₁+b_q，即2(p)/(3p)=(1)/(3)+(q)/(3q)，
整理得：2p•3^q-p=3^q-1+q，
∴q=2p•3^q-p-3^q-1=3^q-p（2p-3^p-1），
∵当p≥3时2p-3^p-1<0，
∴当p≥3时不满足题意，
当p=2时，2(p)/(3p)=(1)/(3)+(q)/(3q)即为：(4)/(9)=(1)/(3)+(q)/(3q)，
整理得：(1)/(9)=(q)/(3q)，解得：q=3，
综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．