如图，点O为正方形ABCD的中心，AB=12，点E在BC边上，以AE为边作等边三角形AEF．（1）若点F在CD边上，求BE的长；（2）若点O也是等边三角形AEF的中心，求BE的长．

Question

如图，点O为正方形ABCD的中心，AB=12，点E在BC边上，以AE为边作等边三角形AEF．
（1）若点F在CD边上，求BE的长；
（2）若点O也是等边三角形AEF的中心，求BE的长．

Answer 1

（1）如图，

∵四边形ABCD是正方形，△AEF为等边三角形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，AE=EF=FA，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AB＝AD

AE＝AF

∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴DF=BE，
∴CE=CF，
设BE=x，则CE=CF=12-x，
则EF=√(CE2+CF2)=√(2)（12-x）；
在Rt△ABE中，
AB²+BE²=AE²，
即12²+x²=[√(2)（12-x）]²
整理得；
x²-48x+144=0，
解得x₁=24-12√(3)，x₂=24+12√(3)（不合题意舍去），
即BE=24-12√(3)，
（2）如图，

过点O作OG⊥AB、OH⊥AE，垂足分别为G、H，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴AG=OG=(1)/(2)AB=6
∴OA=√(AG2+OG2)=6√(2)，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)．

AB＝AD

AE＝AF

AB＝AD

AE＝AF

AB＝AD

AE＝AF

AB＝AD

AE＝AF

AB＝ADAB＝ADAB＝ADAE＝AFAE＝AFAE＝AF
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴DF=BE，
∴CE=CF，
设BE=x，则CE=CF=12-x，
则EF=√(CE2+CF2)=√(2)（12-x）；
在Rt△ABE中，
AB²+BE²=AE²，
即12²+x²=[√(2)（12-x）]²
整理得；
x²-48x+144=0，
解得x₁=24-12√(3)，x₂=24+12√(3)（不合题意舍去），
即BE=24-12√(3)，
（2）如图，

过点O作OG⊥AB、OH⊥AE，垂足分别为G、H，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴AG=OG=(1)/(2)AB=6
∴OA=√(AG2+OG2)=6√(2)，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(CE2+CF2)

CE2+CF2

CE2+CF2CE2+CF22+CF22=√(2)（12-x）；
在Rt△ABE中，
AB²+BE²=AE²，
即12²+x²=[√(2)（12-x）]²
整理得；
x²-48x+144=0，
解得x₁=24-12√(3)，x₂=24+12√(3)（不合题意舍去），
即BE=24-12√(3)，
（2）如图，

过点O作OG⊥AB、OH⊥AE，垂足分别为G、H，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴AG=OG=(1)/(2)AB=6
∴OA=√(AG2+OG2)=6√(2)，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(2)

2

22（12-x）；
在Rt△ABE中，
AB²2+BE²2=AE²2，
即12²2+x²2=[√(2)（12-x）]²
整理得；
x²-48x+144=0，
解得x₁=24-12√(3)，x₂=24+12√(3)（不合题意舍去），
即BE=24-12√(3)，
（2）如图，

过点O作OG⊥AB、OH⊥AE，垂足分别为G、H，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴AG=OG=(1)/(2)AB=6
∴OA=√(AG2+OG2)=6√(2)，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(2)

2

22（12-x）]²2
整理得；
x²2-48x+144=0，
解得x₁1=24-12√(3)，x₂=24+12√(3)（不合题意舍去），
即BE=24-12√(3)，
（2）如图，

过点O作OG⊥AB、OH⊥AE，垂足分别为G、H，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴AG=OG=(1)/(2)AB=6
∴OA=√(AG2+OG2)=6√(2)，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(3)

3

33，x₂2=24+12√(3)（不合题意舍去），
即BE=24-12√(3)，
（2）如图，

过点O作OG⊥AB、OH⊥AE，垂足分别为G、H，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴AG=OG=(1)/(2)AB=6
∴OA=√(AG2+OG2)=6√(2)，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(3)

3

33（不合题意舍去），
即BE=24-12√(3)，
（2）如图，

过点O作OG⊥AB、OH⊥AE，垂足分别为G、H，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴AG=OG=(1)/(2)AB=6
∴OA=√(AG2+OG2)=6√(2)，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(3)

3

33，
（2）如图，

过点O作OG⊥AB、OH⊥AE，垂足分别为G、H，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴AG=OG=(1)/(2)AB=6
∴OA=√(AG2+OG2)=6√(2)，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． (1)/(2)111222AB=6
∴OA=√(AG2+OG2)=6√(2)，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(AG2+OG2)

AG2+OG2

AG2+OG2AG2+OG22+OG22=6√(2)，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(2)

2

22，
∵O是等边△AEF的中心，
∴∠AOH=60°，AH=(1)/(2)AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． (1)/(2)111222AE，
∴∠OAH=30°，
∴OH=(1)/(2)OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． (1)/(2)111222OA=3√(2)，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(2)

2

22，
则AH=√(OA2−OH2)=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(OA2−OH2)

OA2−OH2

OA2−OH2OA2−OH22−OH22=3√(6)
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(6)

6

66
∴AE=6√(6)，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(6)

6

66，
在△AEB中，
BE=√(AE2−AB2)=6√(2)． √(AE2−AB2)

AE2−AB2

AE2−AB2AE2−AB22−AB22=6√(2)． √(2)

2

22．