某制造厂欲制造一个容器为50m³的圆柱形锅炉,问它的高和半径取多大最省料

Question

某制造厂欲制造一个容器为50m³的圆柱形锅炉,问它的高和半径取多大最省料

Answer 1

分析：要使锅炉用料最少,必须在容积达标的基础上表面积最小.
　　设圆柱的底半径是 X ,则它的高为 h＝V / (π* X^2 )　,V＝50立方米
锅炉有一个侧面、两个底面,总的表面积是　S表＝2*S底＋S侧
即　S表＝2*（π * X^2 )＋2π * X * h＝2*（π * X^2 )＋（2 V / X）
　　下面用导数方法较简便（如果没学到导数则难些）.
将　S表　对 X 求一阶导数,得
S表`＝dS表 / dX＝4 π * X－（2 V / X^2）
令　S表`＝0　得　X＝开三次方的根号[ V / (2π) ]　　或　X＝[ V / (2π) ]^(1/3)
即当　X＝[ V / (2π) ]^(1/3)　时,S表　有极值.
而　S表 对 X 的二阶导数是　S表``＝4π＋（4 V / X^3）＞0
所以当　X＝[ V / (2π) ]^(1/3)　时,S表　有极小值.
可见,要使材料最少,底面的半径是　X＝[ V / (2π) ]^(1/3)＝[ 50 / (2*3.14) ]^(1/3)＝1.996≈ 2 米
高　h＝V / (π* X^2 )≈50 /（3.14* 2^2）＝3.98米