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如图,已知△ABC,P为内角平分线AD,BE,CF的交点,过点P作PG⊥BC于G,试说明∠BPD与∠CPG的大小关系,并说明理由.
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如图,已知△ABC,P为内角平分线AD,BE,CF的交点,过点P作PG⊥BC于G,试说明∠BPD与∠CPG的大小关系,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
∠BPD=∠CPG
证明:∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∴∠BAD=
∠BAC,∠ABE=
∠ABC,∠BCF=
∠ACB,
∴∠BPD=∠BAD+∠ABE=
(∠BAC+∠ABC),
∵∠BAC+∠ABC=180-∠ACB,
∴∠BPD=
(180-∠ACB)=90°-
∠ACB;
∵PG⊥BC,
∴∠PGC=90°,
∴∠BCP+∠CPG=180°-∠PGC=90°,
∴∠CPG=90°-∠BCP=90°-
∠ACB,
∴∠BPD=∠CPG.
证明:∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∴∠BAD=
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∴∠BPD=∠BAD+∠ABE=
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∵∠BAC+∠ABC=180-∠ACB,
∴∠BPD=
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∵PG⊥BC,
∴∠PGC=90°,
∴∠BCP+∠CPG=180°-∠PGC=90°,
∴∠CPG=90°-∠BCP=90°-
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∴∠BPD=∠CPG.
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