已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,以O为原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角（接上）坐标系,点B在第一象限内,将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.（1）求点C的坐标

Question

已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,以O为原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角
（接上）坐标系,点B在第一象限内,将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；（2）P是此抛物线的对称轴上一动点,当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出点P的坐标；（3）M（x,y）是此抛物线上一个动点,当△MOB的面积等于△OAB面积时,求M的坐标.
特别是第三问！绝不是简单的M与C重合

Answer 1

（1）过点C作CH⊥x轴,垂足为H,
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,
∴OB=4,OA=2；
由折叠的性质知：∠COB=30°,OC=AO=2,
∴∠COH=60°,OH=,CH=3,
∴C点坐标为（根号3,3）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（根号3,3）、
A（2倍根号3,0）两点,
∴,解得：a=-1,b=2倍根号3；
∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+2倍根号3x；
（3）存在．
因为y=﹣x2+2倍根号3x的顶点坐标为（根号3,3）,即为点C,
MP⊥x轴,垂足为N,设PN=t；
∵∠BOA=30°,
∴ON=t,
∴P（根号3t,t）；
作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E,
把x=t代入y=﹣x2+2倍根号3x,得y=﹣3t2+6t,
∴M（根号3t,﹣3t2+6t）,E（根号3,﹣3t2+6t）,
同理：Q（根号3,t）,D（根号3,1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD,
即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1,解得：t=4/3,t=1（舍）,
∴P点坐标为（4/3倍根号3,4/3）,使得四边形CDPM为等腰梯形,