如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D，（1）求证：∠CDO=∠BDO；（2）若∠A=30°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留π）

Question

如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D，

（1）求证：∠CDO=∠BDO；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

（1）证明：∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，即∠B=90°．
又∵DC⊥OA，
∴∠OCD=90°．
在Rt△COD与Rt△BOD中，
∵OD=OD，OB=OC，
∴Rt△COD≌Rt△BOD，（HL）
∴∠CDO=∠BDO．
（2）在Rt△AOB中，∠A=30°，OB=4，
∴OA=8，
AC=OA-OC=8-4=4．
在Rt△ACD中，tan∠A=(CD)/(AC)，
又∠A=30°，AC=4，
∴CD=AC•tan30°=(4√(3))/(3)，
∴S_{四边形OCDB}=2S_△OCD=2×(1)/(2)×4×(4√(3))/(3)=(16√(3))/(3)，
又∠A=30°，
∴∠BOC=60°．
∴S_扇形OBC=(60π•42)/(360)＝(8π)/(3)，
∴S_阴影=S_{四边形OCDB}-S_扇形OBC=(16√(3))/(3)−(8π)/(3)．