在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x23+y2=1．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）．（Ⅰ）求证

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(x2)/(3)+y²=1．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）．
（Ⅰ）求证：mk=1
（Ⅱ）若|OG|²=|OD|•|OE|，
（i）求证：直线l过定点；
（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABC的外接圆方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设直线l的方程为y=kx+t（k＞0），
由题意，t＞0．
由方程组

y＝kx+t

(x2)/(3)+y2＝1

得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
由题意△＞0，
所以3k²+1＞t²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得x₁+x₂=-(6kt)/(3k2+1)，
所以y₁+y₂=(2t)/(3k2+1)．
由于E为线段AB的中点，
因此x_E=(3kt)/(3k2+1)，yE＝(t)/(3k2+1)，
此时k_OE=(yE)/(xE)＝−(1)/(3k)．
所以OE所在直线方程为y=-(1)/(3k)x，
又由题设知D（-3，m），
令x=-3，得m=(1)/(k)，
即mk=1，
（Ⅱ）（i）证明：由（I）知OD所在直线的方程为y=-(1)/(3k)x，
将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，
解得G(−(3k)/(√(3k2+1))，(1)/(√(3k作业帮用户2016-12-12问题解析（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+t（k＞0），由y＝kx+t(x2)/(3)+y2＝1得（3k2+1）x2+6ktx+3t2-3=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明mk=1．（Ⅱ）（i）证明：由（I）知OD的方程为y=-(1)/(3k)x，代入椭圆C的方程，得G(−(3k)/(√(3k2+1))，(1)/(√(3k2+1)))，又E(−(3k)/(3k2+1)，(t)/(3k2+1))，D(−3，(1)/(k))，由距离公式及t＞0能证明直线l恒过定点（-1，0）．（ii）由G(−(3k)/(√(3k2+1))，(1)/(√(3k2+1)))得若B，G关于x轴对称，则B(−(3k)/(√(3k2+1))，−(1)/(√(3k2+1)))．结合已知条件求出B(−(3)/(2)，−(1)/(2))，G(−(3)/(2)，(1)/(2))关于x轴对称．由此能求出△ABG的外接圆方程．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本题考查两数乘积为1的证明，考查直线过定点的证明，考查三角表外接圆方程的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议))