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已知等边△ABC中,点D为射线BA上一点,作DE=DC,交直线BC于点E.(1)当点D在线段AB上时,如图1,线段CE、AD、AC之间的数量关系是;(2)当点D在BA的延长线上时,如图2,求证:CE=AC-AD;(3
题目详情
已知等边△ABC中,点D为射线BA上一点,作DE=DC,交直线BC于点E.
(1)当点D在线段AB上时,如图1,线段CE、AD、AC之间的数量关系是___;
(2)当点D在BA的延长线上时,如图2,求证:CE=AC-AD;
(3)在(2)的条件下,∠ABC的平分线BF,交CD于点F,过点A作AH⊥CD于H,当∠EDC=30°,CF=10,求DH的长.
(1)当点D在线段AB上时,如图1,线段CE、AD、AC之间的数量关系是___;
(2)当点D在BA的延长线上时,如图2,求证:CE=AC-AD;
(3)在(2)的条件下,∠ABC的平分线BF,交CD于点F,过点A作AH⊥CD于H,当∠EDC=30°,CF=10,求DH的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)作DF∥BC交AC于F,如图1所示:
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠DBE=120°,
∵DF∥BC,
∴∠ADF=∠ABC=60°,
∠AFD=∠ACB=60°,∠FDC=∠DCE,
∴∠A=∠ADF=∠AFD,∠DFC=120°,
∴△ADF是等边三角形,∠DFC=∠DBE,
∴DF=AD,
∵DE=DC,
∴∠E=∠DCE,
∴∠FDC=∠E,
在△DFC和△EBD中,
∴△DFC≌△EBD(AAS),
∴DF=BE,∴BE=AD,
∴BE+BC=AD+AC,CE=AD+AC;
(2)过D作DF∥AC交BC延长线于F,如图2所示:
则∠BDF=∠,BAC=60°,∠F=ACB=60°,
∴∠BDF=∠F=∠ABC,
∴BD=BF,∴AD=CF,
∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,
∴∠DBE=∠DCF,
在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴BE=CF,
∴BE=AD,
∴CE=BC-BE=AC-AD;
(3)连接AF,如图3所示:
∵DE=DC,∠EDC=30°,
∴∠DEC=∠DCE=75°,
∴∠ACF=75°-60°=15°,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
在△ABF和△CBF中,
,
△ABF≌△CBF(SAS),
∴AF=CF,
∴∠FAC=∠ACF=15°,
∴∠AFH=15°+15°=30°,
∵AH⊥CD,
∴AH=
AF=
CF=5,
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE,
∴∠BDE=75°-60°=15°,
∴∠ADH=15°+30°=45°,
∴∠DAH=∠ADH=45°,
∴DH=AH=5.
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠DBE=120°,
∵DF∥BC,
∴∠ADF=∠ABC=60°,
∠AFD=∠ACB=60°,∠FDC=∠DCE,
∴∠A=∠ADF=∠AFD,∠DFC=120°,
∴△ADF是等边三角形,∠DFC=∠DBE,
∴DF=AD,
∵DE=DC,
∴∠E=∠DCE,
∴∠FDC=∠E,
在△DFC和△EBD中,
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∴△DFC≌△EBD(AAS),
∴DF=BE,∴BE=AD,
∴BE+BC=AD+AC,CE=AD+AC;
(2)过D作DF∥AC交BC延长线于F,如图2所示:
则∠BDF=∠,BAC=60°,∠F=ACB=60°,
∴∠BDF=∠F=∠ABC,
∴BD=BF,∴AD=CF,
∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,
∴∠DBE=∠DCF,
在△BDE和△CDF中,
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∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴BE=CF,
∴BE=AD,
∴CE=BC-BE=AC-AD;
(3)连接AF,如图3所示:
∵DE=DC,∠EDC=30°,
∴∠DEC=∠DCE=75°,
∴∠ACF=75°-60°=15°,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
在△ABF和△CBF中,
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△ABF≌△CBF(SAS),
∴AF=CF,
∴∠FAC=∠ACF=15°,
∴∠AFH=15°+15°=30°,
∵AH⊥CD,
∴AH=
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∵∠DEC=∠ABC+∠BDE,
∴∠BDE=75°-60°=15°,
∴∠ADH=15°+30°=45°,
∴∠DAH=∠ADH=45°,
∴DH=AH=5.
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