（2014•鄂州）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：x（天）123…50p（件）118

Question

（2014•鄂州）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：

x（天）	1	2	3	…	50
p（件）	118	116	114	…	20

销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+(1125)/(x)．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．
（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

（1）设销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=kx+b，
代入（1，118），（2，116）得

k+b＝118

2k+b＝116

解得

k＝−2

b＝120

因此销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=-2x+120；

（2）当1≤x＜25时，
y=（60+x-40）（-2x+120）
=-2x²+80x+2400，
当25≤x≤50时，
y=（40+(1125)/(x)-40）（-2x+120）
=(135000)/(x)-2250；

（3）当1≤x＜25时，
y=-2x²+80x+2400，
=-2（x-20）²+3200，
∵-2＜0，
∴当x=20时，y有最大值y₁，且y₁=3200；
当25≤x≤50时，
y=(135000)/(x)-2250；
∵135000＞0，
∴(135000)/(x)随x的增大而减小，
当x=25时，(135000)/(x)最大，
于是，x=25时，y=(135000)/(x)-2250有最大值y₂，且y₂=5400-2250=3150．
∵y₁＞y₂
∴这50天中第20天时该超市获得利润最大，最大利润为3200元．