“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆

Question

“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n圈所用时间为t到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n圈所用时间为(t)/(8)．不考虑其它星体对飞船的影响，求：

（1）月球的平均密度是多少？
（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间．
（3）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？

Answer 1

（1）在圆轨道Ⅲ上的周期：
T₃=(t)/(8n)…①
由万有引力提供向心力有：
G(mM)/(R2)=mR(4π2)/(T23)…②
又：M=ρ•(4)/(3)πR3…③
联立得：ρ=(3π)/(GT23)=(192πn2)/(Gt2)…④
（2）设飞船在轨道I上的运动周期为T₁，在轨道I有：G(mM)/(r2)=mr(4π2)/(T21)…⑤
又：T1=(t)/(n)…⑥
联立①②⑤⑥得：r=4R
设飞船在轨道II上的运动周期T₂，而轨道II的半长轴为：b=(r+R)/(2)=2.5R…⑦
根据开普勒定律得：
(T22)/((2.5R)3)=(T23)/((4R)3)…⑧
可解得：T₂=0.494T₃
所以飞船从A到B的飞行时间为：t=(T2)/(2)=(0.247t)/(n)
（3）设飞船在轨道I上的角速度为ω₁、在轨道III上的角速度为ω₃，有：ω1=(2π)/(T1)
所以ω3=(2π)/(T3)
设飞飞船再经过t时间相距最近，有：
ω₃t′-ω₁t′=2mπ
所以有：t=(mt)/(7n)（m=1，2，3…）
答：（1）月球的平均密度是(192πn2)/(Gt2)．
（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间为(0.247t)/(n)．

作业帮用户 2017-02-20