在锐角三角形ABC中,是否存在一点,使其成为三角形三个不同内接矩形的中心,为什么?

Answer 1

我觉得即便是要让它成为2个内接矩形的中心都是不可能的.
具体的证明只需要用到三角形全等.图的话有点复杂,但是一旦画出来了就很清楚.
画图：内接矩形的话,肯定至少有一条边落在三角形某条边上（重合）,这是抽屉原理（4个点分布在3条边上,至少1条边有2个点）.设内接矩形为DEFG（字母按逆时针方向标,下同）,DE在边BC上.设该矩形的中心点为O,过O分别作OM垂直于DE,ON垂直于GF,垂足分别为M,N.然后再画另一个内接矩形,如果要它的中心也是O的话,那么显然它是不可能再有一条边落在BC上了（你自己画画看,很容易看出来的）,所以他肯定得有条边落在三角形其他两边上,设新矩形为D'E'F'G',且其边E'F'落在边AC上.同样过O作ON'垂直于E'F',作OM' 垂直于D'G'.
求证：O点不可能同时为矩形DEFG和D'E'F'G'的中心.
证明：假设它是两矩形的中心,那么由
ON = OM, ON' = OM',以及对顶角NON'和角MOM‘相等,马上得到：
三角形NON'和三角形MOM'全等.全等的话,面积必然相等. (a)
但是,如果我们延长线段OM',交边BC于点Q,同时设线段ON'与线段FG的交点为Q',就会发现,
三角形MOM’的面积小于三角形M'OQ,三角形NON'的面积大于三角形NOQ',而
三角形M'OQ又和三角形NOQ'面积相等,从而推出：
三角形MOM'的面积小于三角形NON',这和叙述(a)矛盾.
于是,O不可能同时为两矩形的中心.当然也不可能是三个矩形的中心了.