若从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的不同的整数a1a2a3a4a5,其中总有一个整数是素数,求n的最大值若n≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整数,但没有一个整数是素数,∴n≤48,

Question

若从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的不同的整数a1a2a3a4a5,其中总有一个整数是素数,求n的最大值
若n≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整数,但没有一个整数是素数,∴n≤48,在1,2,3,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数,
若,都不是素数,则,中至少有四个数是合数,不妨假设,为合数,
设,的最小的素因数分别为p1,p2,p3,p4
由于,两两互素,∴p1,p2,p3,p4两两不同
设p是p1,p2,p3,p4中的最大数,则p≥7
因为,为合数,所以,中一定存在一个
aj≥p^2≥72＝49,与n≥49矛盾,于是,中一定有一个是素数
综上所述,正整数n的最大值为48.
aj≥p^2≥72＝49什么意思

Answer 1

如果你把任何5个互素的整数,所有的合数是2 ^ 2 = 4,3 ^ 2 = 9,5 ^ 2 = 25,7 ^ 2 = 49,11 ^ 2 = 121（因为五个整数互质的数可以只有2,3,5,7,11,而且还因为它是一个合数,只有约数的平方）.因此,最大的n = 120